Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Не забудем, что Disquisitiones была постоянным спутником Дирихле в его молодые годы. Когда он приступил к упомянутой выше задаче в 1836 или 1837 году, ему было уже тридцать с небольшим лет, и к тому времени он не раз уже проштудировал работу Гаусса по сравнениям. Затем каким-то образом в поле его зрения попал результат Эйлера 1737 года — Золотой Ключ. Это и дало ему подсказку. Он соединил две вещи вместе, применил некоторые элементарные методы анализа и получил свое доказательство.
IX.
Дирихле, таким образом, был первым, кто подобрал Золотой Ключ — связующее звено между арифметикой и анализом — и всерьез воспользовался им. Однако (если продолжить ту аналогию, которую я здесь развиваю) утверждение о том, что он еще и повернул ключ, было бы некоторым преувеличением. Скорее я бы сказал, что он его взял, оценил его красоту и потенциальную мощь, затем отложил его в сторону, но использовал как образец для другого похожего ключа — серебряного, можно сказать, — чтобы отпереть дверь, ведущую к стоявшей перед ним конкретной проблеме. Великое соединение — аналитическая теория чисел — появилось во всем своем великолепии лишь 22 года спустя, в работе Римана 1859 года.
Вспомним, однако, что Риман был одним из учеников Дирихле и, без сомнения, знал о его работах. Действительно, в первом же абзаце своей статьи 1859 года он упоминает Дирихле вместе с Гауссом. Они были двумя его математическими кумирами. Если Риман повернул ключ, то Дирихле сначала показал ему этот ключ и продемонстрировал, что он в самом деле может что-то отпереть; и именно Дирихле заслуженно принадлежит бессмертная слава создания аналитической теории чисел.
Но что же представляет собой этот Золотой Ключ? Что именно оставил Леонард Эйлер, работая в своей комнате наедине со свечой, когда по улицам Санкт-Петербурга пробирались тайные агенты Бирона, что именно оставил он — для того чтобы через сто лет это нашел Дирихле?
  
Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел
 
I.
Внимательный читатель уже, должно быть, заметил, что математические главы этой книги развиваются по двум основным колеям. Главы 1 и 5 были целиком посвящены различным бесконечным рядам, приводящим к математическим объектам, которые Риман назвал дзета-функцией. А в главе 3, посвященной простым числам, отталкиваясь от заглавия работы Римана 1859 года, мы рассмотрели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Эти два предмета — дзета-функция и простые числа, — очевидно, связны в силу того интереса, который к ним проявлял Риман. В самом деле, определенным образом связав одну концепцию с другой и повернув Золотой Ключ, Риман открыл целую область аналитической теории чисел. Но как он это сделал? Какова связь? Что именно представляет собой Золотой Ключ? В данной главе я намерен ответить на этот вопрос — предъявить вам Золотой Ключ. После этого мы начнем готовиться к повороту Золотого Ключа, рассмотрев улучшенный вариант ТРПЧ.
II.
Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.
Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.
Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.
  2   3   4   5   6   7   8   9  10  11
 12  13  14  15  16  17  18  19  20  21
 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31
 32  33  34  35  36  37  38  39  40  41
 42  43  44  45  46  47  48  49  50  51
 52  53  54  55  56  57  58  59  60  61
 62  63  64  65  66  67  68  69  70  71
 72  73  74  75  76  77  78  79  80  81
 82  83  84  85  86  87  88  89  90  91
 92  93  94  95  96  97  98  99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111
Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.
  2   3   .   5   .   7   .   9   .  11
  .  13   .  15   .  17   .  19   .  21
  .  23   .  25   .  27   .  29   .  31
  .  33   .  35   .  37   .  39   .  41
  .  43   .  45   .  47   .  49   .  51
  .  53   .  55   .  57   .  59   .  61
  .  63   .  65   .  67   .  69   .  71
  .  73   .  75   .  77   .  79   .  81
  .  83   .  85   .  87   .  89   .  91
  .  93   .  95   .  97   .  99   . 101
  . 103   . 105   . 107   . 109   . 111
Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим
  2   3   .   5   .   7   .   .   .  11
  .  13   .   .   .  17   .  19   .   .
  .  23   .  25   .   .   .  29   .  31
  .   .   .  35   .  37   .   .   .  41
  .  43   .   .   .  47   .  49   .   .
  .  53   .  55   .   .   .  59   .  61
  .   .   .  65   .  67   .   .   .  71
  .  73   .   .   .  77   .  79   .   .
  .  83   .  85   .   .   .  89   .  91
  .   .   .  95   .  97   .   .   . 101
  . 103   .   .   . 107   . 109   . 111
Первое выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим
  2   3   .   5   .   7   .   .   .  11
  .  13   .   .   .  17   .  19   .   .
  .  23   .   .   .   .   .  29   .  31
  .   .   .   .   .  37   .   .   .  41
  .  43   .   .   .  47   .  49   .   .
  .  53   .   .   .   .   .  59   .  61
  .   .   .   .   .  67   .   .   .  71
  .  73   .   .   .  77   .  79   .   .
  .  83   .   .   .   .   .  89   .  91
  .   .   .   .   .  97   .   .   . 101
  . 103   .   .   . 107   . 109   . 111