Большая Советская Энциклопедия (КО)

всегда —1 ? r ? 1. Однако практическое использование коэффициента К. в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, Y)
нормально или приближённо нормально (см.  Нормальное распределение

);
употребление r
как меры зависимости между произвольными Y
и Х
приводит иногда к ошибочным выводам, т. к. r
может равняться нулю даже тогда, когда Y
строго зависит от X
. Если двумерное распределение Х
и Y
нормально, то линии регрессии Y
по Х
и Х
по Y
суть прямые у = mY
+
bY 
(x — mx)
и х = mx+
bx 
(у — mY
), 
где 
 и 
; bY

и bX

именуются коэффициентами регрессии, причём
.
  Так как в этом случае
Е (Y - y (x))2
= 
s2
Y 
(
1 - 
r2
)
и
Е (Y - x (y))2
= 
s2
X 
(
1 - 
r2
)
  
то очевидно, что r (корреляционные отношения совпадают с r2

полностью определяет степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном случае r = ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой линейной зависимости между Y
и X
, при r = 
0 величины не коррелированы.
Корреляция между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны
см
м
 Итого 
 17 
 18 
 19 
 20 
 21 
 22 
 23 
 24 
 25 
 26 
 27 
 28 
 29 
 30 
 14-17 
 2 
 2 
 5 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 18-21 
 1 
 3 
 3 
 12 
 15 
 9 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 22-25 
 1 
 1 
 1 
 3 
 18 
 24 
 29 
 14 
 7 
 
 
 
 
 
 98 
 26-29 
 
 
 
 
 7 
 18 
 30 
 43 
 31 
 3 
 2 
 
 
 
 134 
 30-33 
 
 
 
 
 1 
 5 
 18 
 29 
 35 
 18 
 7 
 1 
 
 
 114 
 34-37 
 
 
 
 
 
 1 
 3 
 17 
 33 
 26 
 12 
 6 
 
 
 98 
 38-41 
 
 
 
 
 
 
 2 
 2 
 10 
 19 
 16 
 4 
 
 
 53 
 42-45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 13 
 6 
 8 
 
 1 
 32 
 46-49 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 3 
 7 
 6 
 2 
 1 
 
 22 
 50-53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 4 
 4 
 2 
 1 
 
 12 
 54-57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 1 
 1 
 
 
 3 
 58 и более 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1 
 Итого 
 4 
 6 
 9 
 16 
 41 
 57 
 86 
 108 
 124 
 91 
 55 
 24 
 2 
 1 
 624 
 Средний диаметр 
 18,5 
 18,6 
 17,7 
 20,0 
 22,9 
 25,0 
 27,2 
 30,1 
 32,7 
 38,3 
 40,0 
 41,8 
 49,5 
 43,5 
 31,2 
При изучении связи между несколькими случайными величинами X1

,..., Xn

пользуются множественными и частными корреляционными отношениями и коэффициентами К. (последними по-прежнему в случае линейной связи). Основной характеристикой зависимости являются коэффициенты rij
— простые коэффициенты К. между Xi

 
и Xj
,
в совокупности образующие корреляционную матрицу (rij
) (очевидно, rij
= rji
и rkk
= 
1). Мерой линейной К. между X1

и совокупностью всех остальных величин X2
,..., Xn

служит множественный коэффициент К., равный при n = 
3
.
Если предполагается, что изменение величин X1

и X2

определяется в какой-то мере изменением остальных величин X3
,
..., Xn
,
то показателем линейной связи между X1

и X2

при исключении влияния X3,
..., Xn

; является частный коэффициент К. X1

и X2

относительно X3
,..., Xn
,
равный в случае n=
3
Множественные и частные корреляционные отношения выражаются несколько сложнее.
  В математической статистике разработаны методы оценки упомянутых выше коэффициентов и методы проверки гипотез об их значениях, использующие их выборочные аналоги (выборочные коэффициенты К., корреляционные отношения и т. п.). См.  Корреляционный анализ
.
 
  Лит.:
Дунин- Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Митропольский А. К., Техника статистических вычислений, 2 изд., М., 1971. 
  А. В. Прохоров. 
Приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра северной сосны от высоты.