Когда приходит ответ
Но Порецкий и не думал выдавать ее за шкатулку чудес. Он говорил:
— Было бы слишком неосмотрительно полагать, что операции над классами в логике ничем не отличаются от операций над числами. Позвольте напомнить. В самой математике сложение с положительным числом совсем не то, что с отрицательным. Умножение целых чисел совсем не то, что умножение дробей. Умножение линий совсем не то, что чисел… То же между логикой и алгеброй. Это не одно и то же. Нам вполне достаточно, что здесь имеется известная аналогия. Аналогия, и не больше. Но эта аналогия открывает нам большие возможности.
Отступив к доске, он предложил аудитории с легкой усмешкой логическую задачу. О девицах, приехавших на дворянский бал. О них известно следующее. Во-первых, каждая из девиц была или благовоспитанна, или весела, или молода, или красива. Во-вторых, когда начались танцы, то оказалось, что все нетанцующие девицы были некрасивы и что каждая из танцующих была или молода, или весела, или благовоспитанна. В-третьих… Так выписывал он об этих девицах четырнадцать разных суждений, или посылок, как говорят в логике. Четырнадцать всевозможных вариантов из понятий «веселая», «молодая», «красивая», «благовоспитанная», вместе с их отрицаниями, соединенных между собой то словечком «и», то словечком «или». Хватит ли доски? Написав последнее, четырнадцатое условие, по которому, «когда уехали все неблаговоспитанные, все немолодые, все невеселые и все некрасивые, никаких девиц на балу более не осталось», — Порецкий спросил, не желает ли кто-нибудь решить эту логическую задачу, построив соответствующие умозаключения? Установить прежде всего, возможна ли подобная задача и нет ли между ее посылками противоречий. А потом уж описать точным образом «весь мир девиц бала», выражаясь по-булевски: определить отношения между их категориями. Пожалуйста, кто хочет?
Аудитория молчала, пока докладчик окидывал ряды насмешливым взглядом. Никто не вызвался. Все понимали, проходившие логику еще в классических гимназиях, что за такую задачу с обычным приемом словесных рассуждений лучше и не браться.
Насладившись замешательством собрания, Порецкий тут же провел сеанс алгебры логики. Быстро перекроил девиц на буквенные знаки. Составил на каждое из условий свое уравнение, приравнивая к единице, если оно утвердительное, и к нулю, если оно отрицательное, — и, проделав у всех на глазах еще некоторые операции сложения, умножения, вынесения за скобки, получил ответ. Задача возможна. И вот какой следует вывод…
Он поклонился, как бы представляя своих девиц и подтверждая кстати, что алгебра логики вовсе не убивает чувства юмора.
Было в докладе Порецкого и нечто такое, чего не знали еще ни сам Буль и никто из его усердных комментаторов. Обычно в логике ищут: какие умозаключения можно вывести из данных первоначальных посылок? Как, например, с этими девицами. Порецкий обнаружил, что алгебра логики обладает и обратной силой: можно находить, из каких же посылок выведено то или иное умозаключение. Пожалуйста, показал он на доске, надо сделать только некоторые преобразования в формулах. Обратный метод решения логических равенств — оригинальное открытие Порецкого.
Начав с ученического освоения незнакомой, едва пробивающейся области, казанский астроном-математик уже на второй год сумел открыть в ней новую страницу.
Заканчивая перед несколько смущенной аудиторией доклад, он выразил свою убежденность в той мягкой манере, какая принята в хорошем ученом обществе:
— Мне думается, что юная отрасль знания имеет несомненное право на существование. Потому именно, что она позволяет решать задачи, ответа на которые нет ни в математике, ни в логике. Благодарю вас, господа!
8
«Булевский курьез» становился наукой или, точнее, некой научной областью, подталкиваемой усилиями одиночек.
Печать математики лежала на ней так явно, что понятия и суждения, обозначаемые буквами, стали называть запросто логическими переменными, а сложные выражения, составляе мые из них, — логическими функциями. Пограничная наука говорила на смешанном языке.
Ясно проступала и ее важнейшая особенность: алгебра логики — алгебра двух величин. Алгебра одного из двух. Или алгебра альтернативы. Понятие может быть взято либо в своем полном объеме («весь мир речи» по Булю), — и тогда его можно приравнять к единице, либо, в противоположность ему, понятие невозможное («пустой класс»), — и тогда его следует считать за нуль. Итак, нуль или единица. Одно из двух.
То же и в исчислении высказываний. Всякое суждение может быть либо ложным, либо истинным. Одно из двух. «Снег, выпадающий летом, черный» — ложно. «Снег, выпадающий зимой, белый» — истинно. Первое предложение надо приравнять нулю, а второе, в противоположность ему, единице. Алгебра альтернативы.
Но ложность или истинность сложных выражений зависит от того, ложны или истинны входящие в них составные части, — эти самые неуловимые в обычной человеческой речи конституенты, Алгебра логики дает приемы, как разлагать на составные части: длинные суждения на простейшие, классы на подклассы. И приверженцы новой науки старательно упражнялись этой игре в конституенты, которую они назвали по-ученому «разложением нуля и единицы». Они видели в ней сильнейший метод логического анализа, как увидит впоследствии Мартьянов роль конституентов и в анализе релейных схем. Уж ему-то придется всласть поиграть, до седьмого пота, с нулями и единицами!
Нуль и единица. Между ними танцует вся алгебра логики. И закономерность такого двоичного счета прекрасно обосновал профессор математики Московского университета Иван Иванович Жегалкин.
Быть может, логика служила ему утешением в то мрачное время царской реакции, когда вместе с Тимирязевым, Лебедевым и другими покинул он в знак протеста университет. Занятия логикой «на досуге»! Лишь после революции, вернувшись снова в университетские стены, смог он опубликовать свое выдающееся исследование.
Иван Иванович Жегалкин… Сколько раз, вероятно, раздавался его отчетливый голос, читающий лекцию в той самой аудитории с широким амфитеатром, где пришлось Мартьянову услышать впервые голос математической логики. А Жегалкин заложил один из прочных камней в ее основание.
Он писал, что предназначает свою работу «для тех, кто привык пользоваться законами логики при доказательствах». И сам строго логически, с прозрачно чистым лаконизмом доказал главное: алгебра логики — алгебра двух чисел. Свою задачу он видел скромной: «Дать правила, с помощью которых, применяя их вполне механически, можно было бы убедиться в истинности или ложности всякого произвольно-заданного элементарного предложения».
Нуль и единица твердо закрепились на позициях пограничной науки. И тем самым мысль новейшего века удивительным образом обратилась к тому, с чего когда-то начинало человечество. Двоичная система — одна из древнейших систем исчисления. Она родилась из непосредственного общения с природой. День и ночь. Холодное и горячее. Ничего не зная еще о числах, человек уже разделял мир по принципу «одно из двух». Он разводил дым костра или глушил его, желая передать первые сигналы на расстояние: опасность, победа! Логические «да» и «нет» в их простейшей форме.
Двумя знаками можно выразить очень многое. Есть игра, очень веселая и не такая уж бессмысленная: отвечайте только «да» или «нет», и я отгадаю все, что вы задумаете. Современный телеграф, говорящий на азбуке Морзе, изъясняется лишь точками и тире. Но с помощью точки и тире можно передать любую мысль и даже написать, если угодно, «Войну и мир».
Выбор одного из двух — первое, что делает логика. И в ее алгебре вполне достаточно иметь только два числа. Древнейший счет испытывал в колыбели математической логики свое второе рождение. Для новых целей — для того, что можно было бы назвать, выражаясь по-современному, моделированием мыслей.
Кстати, с развитием естествознания мысль все больше привыкала и к идее различных интерпретаций. Казалось бы, самые далекие друг от друга явления обнаруживали поразительное сходство в своих внутренних отношениях и закономерностях. Одинаковые приемы исследования становились годными и в теории чисел, и в геометрии, и в оптике, и в механике материальных тел. Одни ученые изучали, скажем, движение небесных светил, другие — поведение корабля на волнах, третьи — колебания маятника, четвертые — электромагнитные волны… Каждый описывал математически свои явления, выводил свои дифференциальные уравнения. А когда их сличали, оказывалось, что уравнения одинаковы.