Риск-менеджмент. Учебное пособие

В следующих разделах будет сначала рассмотрена концепция «двустороннего» риска в портфельной теории, рассмотрены ее плюсы и минусы, а затем более современные концепции оценки рыночных и других видов риска, в частности, концепция Value-at-Risk.
 
Глава 2. «Двусторонний» рыночный риск в классической портфельной теории
 
В этом разделе будет рассмотрен один из видов рыночного риска – ценовой риск, т.е. риск неблагоприятного изменения цен финансовых инструментов. Классическая портфельная теория излагается как пример одного из первых (в историческом плане) подходов к измерению ценового риска.
«Двусторонний» рыночный риск в классической портфельной теории
Рассмотрим основную задачу классической портфельной теории.
Пусть задан отрезок времени Delta t = [0,1], называемый инвестиционным периодом: в момент t =0 инвестор приобретает активы, в момент t=1 продает их и оценивает свое благосостояние. Он принимает решение в условиях неопределенности, т.к. будущая доходность ценной бумаги есть величина неопределенная, следовательно, в инвестиционном решении присутствует риск.
Как известно, ценные бумаги характеризуются доходностью и риском. Исходя из здравого смысла инвестиционную задачу можно сформулировать: «как путем управления инвестициями достичь максимума доходности при минимуме риска», что в математической постановке распадается на два случая:
(а) задача максимизации доходности при ограничении риска сверху заданным значением
и (б) задача минимизации риска при ограничении доходности снизу заданным значением
В портфельной теории рассматривается первая задача.
Отметим, что при прочих равных условиях диверсификация 3 портфеля дает возможность уменьшения риска при заданном уровне доходности.
Рассмотрим более подробно портфельную теорию Г. Марковица 4.
По определению, доходность некоторой ценной бумаги есть ri = (p1-p0)/p0, где p0, p1 – цены в моменты времени t0, t1.
Доходность портфеля определяется аналогично: rp=(w1-w0)/w0, где w0 и w1 – начальное и конечное благосостояние потребителя. Отсюда имеем: w0(1+rp)=w1, то есть доходность rp можно трактовать как некоторую эффективную ставку, по которой растет благосостояние.
В теории Марковица делаются следующие предположения:
1) Доходность ценной бумаги – это случайная величина, а значит, доходность портфеля – тоже случайная величина;
2) Инвестор при принятии инвестиционного решения (в какие активы вложить имеющиеся денежные средства на время инвестиционного периода) ориентируется только на ожидаемую доходность (математическое ожидание доходности) и риск, понимаемый как стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг.
Последнее предположение является очень жестким, так как все статистические свойства случайной величины – доходности – сводятся только к математическому ожиданию и дисперсии (которая является мерой «разброса» данных относительно «среднего»), и инвестиционное решение принимается только на их основе. Таким образом, не учитываются особенности распределения случайной величины.
С точки зрения оценки риска у теории Марковица есть свои достоинства и недостатки.
Достоинства:
1. Если распределения доходности ценных бумаг симметричны и «близки» по форме, то среднеквадратичное отклонение s рассматривается как мера риска, так как отклонения в обе стороны, благоприятную и неблагоприятную, равны.
2. Теория вычислительно проста.
Недостатки теории:
1. Для нормального распределения s – хорошая мера разброса, а для прочих – плохая, риск оценивается неадекватно, с грубым приближением.
2. Эта мера разброса показывает отклонения в обе стороны, а нас интересует риск, то есть мера отклонения только в неблагоприятную сторону.
Рис. 1.
Нарисуем график, где на горизонтальной оси отложим стандартное отклонение s, на вертикальной – доходность r. При условии сделанного предположения для инвестора достаточно знания этих двух величин. Это значит, что портфель можно изобразить точкой, а инвестиционное решение должно приниматься на основании анализа допустимого множества портфелей и предпочтений инвестора.
В теории Марковица обычно считается, что инвестор, во-первых, обладает свойством ненасыщения, то есть таким свойством, что чем больше доходность инвестиционного портфеля, тем ему лучше при прочих равных условиях. Во-вторых, инвестор обладает свойством избегания риска, свойством несклонности к риску.
Бывает три вида инвесторов: склонных к риску, избегающих риска и нейтральных к риску. Рассмотрим честную игру. Бросая монетку, с вероятностью ½ мы либо получаем, либо платим одну денежную единицу. Математическое ожидание выигрыша равно нулю (½*(+1)+½*(-1)=0). Для инвестора, несклонного к риску, моральное удовлетворение от выигрыша в одну единицу будет меньше, чем разочарование от проигрыша. Хотя он знает, что в среднем получается ноль, он откажется от игры. Склонный к риску инвестор рассуждает ровно наоборот. Нейтральный к риску скажет, что ему все равно, играть, или не играть.
Для инвесторов, несклонных к риску и обладающим свойством ненасыщения, рассматриваемых в теории Марковица, кривые безразличия выглядят следующим образом: положительно наклоненные и выпуклые вниз.
Кривая безразличия – это множество портфелей, обладающих свойствами доходности и риска, полностью описываемыми величинами r и s, одинаковых для инвестора с точки зрения его предпочтения – инвестиционного выбора. Кривая безразличия положительно наклонена, так как считается, что больший риск должен компенсироваться большей доходностью. Аналогичный подход используется в теории полезности.
Кривые безразличия не пересекаются. Между любыми двумя можно нарисовать третью. Для инвестора лучше, когда наш портфель оказывается левее и выше на приведенном рисунке, потому что при таком смещении либо увеличивается доходность, либо уменьшается риск, либо то и другое одновременно; поэтому кривая безразличия, расположенная левее и выше, предпочтительнее для инвестора.
Пусть:
N – количество активов,
x1 , …, xN –доли активов в портфеле,
Тогда доходность портфеля, rp, исходя из определения доходности, есть
Отсюда, очевидно, что ожидаемая доходность портфеля определяется формулой
Соответственно, для s получается, что риск портфеля есть
– коэффициент корреляции между доходностями i-ой и j-ой ценными бумагами.